Cours sur les dérivées

Cours sur les dérivées :

Définition

Fonction dérivée

Opérations sur les dérivées

Dérivées des fonctions usuelles

Dérivées et tangentes

1.1) Définition:       retour

Définition: Dire que la fonction f est dérivable en x0 existe   signifie que  la limite lorsque x tend vers x0 du quotient   existe et qu'elle est finie. Lorsque c'est le cas, elle porte l'appellation de nombre dérivé de la fonction f en x0. Il est noté f'(x0). Autrement écrit:

1.2)  Exemples:

 

Premier exemple Déterminons le nombre dérivé en x = 1 de la fonction f définie par : f(x) = 2.x2 + 1 On part de la définition du nombre dérivé : on étudie la limite lorsque x tend vers 1 du quotient  . Pour tout x différent de 1, on peut écrire que :   Donc lorsque x tend vers 1, le quotient   tend vers  2 × (1 + 1) = 4. Conclusion: la fonction f(x) = 2.x2 + 1 est dérivable en x = 1. Le nombre dérivé de cette fonction en 1 vaut 4.    donc f'(1) = 4.

 

Deuxième exemple: Déterminons le nombre dérivé en x = 0 de la fonction racine g définie par : g(x) = Etudions la limite lorsque x tend vers 0 du quotient . Pour tout réel non nul x, on peut écrire :   Or lorsque x tend 0, tend vers +l'infini. Comme le quotient n'a pas une limite finie alors la fonction g n'est pas dérivable en x = 0. Conclusion: la fonction racine g(x) = n'est pas dérivable en x = 0. Ainsi donc, ce n'est pas parce qu'une fonction est définie en un point qu'elle y nécessairement dérivable. Explication: Le nombre dérivé d'une fonction g en un point est le coefficient directeur (ou la pente) de la tangente à la courbe de g en ce point. Lorsque x se rapproche de 0, la courbe de la fonction g tend vers l'axe des ordonnées D. qui est sa tangente en 0. Or c'est une droite verticale : sa pente est donc infinie. Comme la limite en 0 du quotient . C'est aussi pour cela que la fonction racine g n'est pas dérivable en x = 0.

 

1.3)   Les méthode pour dériver.

Pour déterminer si une fonction f est dérivable en un point x₀, il y a trois cheminements possibles :

1. Première méthode:

   On peut essayer de déterminer la limite lorsque x tend vers  x0 du quotient  .

   C'est la définition du nombre dérivé.
   C'est ce qui a été fait avec le premier exemple du paragraphe précédent.
   

 

2. Seconde méthode:

   On peut aussi d&eacut;terminer la limite lorsque h tend vers 0 du quotient .

   Exemple:
   Déterminons par cette méthode le nombre dérivé en x₀ = 1 de la 
   fonction f(x) = 2.x² + 1.

   
   Pour tout réel h voisin de 0, on peut écrire que :

   

   Lorsque h tend vers 0, le quotient tend vers 4.
   Donc la fonction f est dérivable en 1 et son nombre dérivé vaut 4.
   

 

3. Troisième méthode:

   On peut aussi chercher à écrire la fonction f sous la forme : où : nombre est un réel à déterminer. C'est le nombre dérivé de f en x0. un truc qui tend vers 0 en x0 est une fonction en x qui a pour limite 0 lorsque x tend vers x0.

   Essayons d'écrire la fonction f(x) = 2.x² + 1 sous cette forme avec x₀ = 1.
   Pour tout réel x:

   f(x)	= 2.x2 + 1 = 3 + 2.x2 - 2 = f(1) + 2.(x - 1)2 + 4.x - 2 - 2 = f(1) + 4.x - 4 + 2.(x - 1)2  = f(1) + 4 . (x -1) + (x - 1) . 2.(x-1)

   Comme la fonction 2.(x-1) tend vers 0 lorsque x tend vers 1 alors on peut dire que 4 est le nombre dérivé de la fonction f en 1.
   

Exemple:
Déterminons la dérivée de la fonction f(x) = 7.x⁵.
La dérivée de la fonction x⁵ est égale à  5.x⁴ . D'où :

f'(x) = (7.x⁵)' = 7 . (x⁵)' = 7 . (5.x⁴) = 35.x⁴

  3.2)   Dérivée d'une somme.

Exemple:
Déterminons la dérivée de la fonction f(x) = 7.x³ - 3.x² + 3.
Les dérivées des fonctions x³, x² et 3 sont respectivement 3.x², 2.x et 0.
Ainsi :

3.3)  Dérivée d'un produit.

Exemple:
Déterminons la dérivée de la fonction  f(x) = (x³ - x +1) . (x² - 1).
La fonction f est le produit des fonctions :

• u(x) = x³ - x +1  dont la dérivée est 3.x² - 1.
• v(x) = x² - 1  dont la dérivée est 2.x.

On peut donc écrire que :

3.4)   Dérivée de l'inverse d'une fonction .

Exemple:
Déterminons la dérivée de la fonction f(x) = . 
Cette fonction est l'inverse de la fonction  u(x) = x² + 1 dont la dérivée est 2.x.
Ainsi :

3.5)   Dérivée d'un quotient .

"Diviser revient à multiplier par l'inverse".

Exemple:
Déterminons la dérivée de la fonction f(x) = .
La fonction f est le produit des fonctions :

• u(x) = 2.x +1  dont la dérivée est 2.
• v(x) = x² + 1  dont la dérivée est 2.x.

On peut donc écrire que :

• Les fonctions puissances.
  
  Ce sont les puissances de x avec lesquelles on écrit les polynômes.
  Ces fonctions sont définies et dérivables sur ]-infini ; +infini [.

Fonction	Dérivée	Ensemble de dérivation	Annexe
k	0		La dérivée de  f(x) = 3 est  f'(x) = 0.
x	1		La preuve
x2	2.x		La preuve
x3	3.x2		La preuve
xn	n . xn-1		La preuve

• Les fonctions inverses et racine.
  
  Ces fonctions sont les inverses des fonctions puissances.
  Et comme ces premières, elles sont dérivables sur leur intervalle de définition.
  Sauf la fonction racine(x) qui n'est pas dérivable en 0.

Fonction	Dérivée	Ensemble de dérivation	Annexe
			La preuve
			La preuve
			La preuve
		n'est pas dérivable en 0.	La preuve

• Les fonctions trigonométriques.
  
  Les fonctions trigonométriques sont les fonctions sinus, cosinus et tangente.
  Ces fonctions sont dérivables sur leur domaine de définition.

Fonction	Dérivée	Ensemble de dérivation	Annexe
sin(x)	cos(x)		La preuve
cos(x)	-sin(x)		La preuve
tan(x)		Là où tangente est définie.	La preuve

Lorsque le point B se rapproche du point A, la droite (AB) se "rapproche" de la tangente à la courbe en A.
Donc la pente de la droite (AB) tend vers la pente de la tangente.

Or le coefficient directeur (ou pente) de la droite (AB) est égal à :

Donc, la pente de la tangente à la courbe en A peut être vue comme étant la limite lorsque x_B tend vers x_A du quotient .

En résumé : point B point A droite (AB) tangente en A pente de la tangente en A

Conclusion:

Exemple:
Déterminons l'équation réduite de la tangente dans le cas de notre premier exemple.

Cette fonction f est définie par : f(x) = 2.x2 + 1Déterminons l'équation de la tangente D à sa courbe en  x0 = 1. Nous savons déjà que : f(1) = 3        f'(1) = 4.L'équation réduite de la droite D est donc : y y y = f'(x0) . (x - x0) + f(x0) = 4 . (x -1) + 3 = 4.x - 1.