Leonhard Paul Euler (1707 -1783), mathématicien et physicien suisse, membre de l'Académie royale des sciences de Prusse à Berlin.
Il est considéré comme un éminent mathématicien du XVIIIème siècle et l'un des plus grands et des plus prolifiques de tous les temps.
Il a travaillé dans presque tous les domaines des mathématiques:
La géométrie, le calcul infinitésimal, la trigonométrie, l'algèbre et la théorie des nombres.
En notation mathématique:
Euler a introduit et popularisé plusieurs conventions de notation par le biais de ses nombreux ouvrages largement diffusés.
Plus particulièrement, il a introduit la notion de fonction et a été le premier à écrire f(x) pour désigner la fonction appliquée à l'argument, en 1734.
Il a également introduit la notation moderne des fonctions trigonométriques, la lettre e pour la base du logarithme naturel (également connue sous le nom de nombre d'Euler) en 1727,
la lettre grecque Σ pour désigner une somme en 1755 et la lettre i pour représenter l'unité imaginaire, en 1777.
En Analyse:
Le développement du calcul infinitésimal a été au premier plan des recherches mathématiques du XVIIIème siècle, et la famille Bernoulli, amis d'Euler, est à l'origine de nombreux progrès dans ce domaine.
Grâce à leur influence, l'étude du calcul infinitésimal est devenu l'un des axes principaux du travail d'Euler.
Euler est bien connu dans le domaine de l'analyse pour son usage fréquent des séries numériques et des séries entières.
Il a notamment montré que le nombre e est la somme de la série de terme général 1/n! :
Il est le 1er à avoir introduit l'utilisation de la fonction exponentielle et des logarithmes dans les démonstrations en analyse.
Il a découvert des moyens d'exprimer différentes fonctions logarithmiques en utilisant les séries entières, et il a étendu la notion de logarithme aux nombres négatifs et aux nombres complexes.
Il a également défini la fonction exponentielle pour les nombres complexes, et a découvert la relation qui la lie aux fonctions trigonométriques :
pour tout réel φ , .
En théorie des nombres:
Euler a fait le lien entre la distribution des nombres premiers et l'analyse.
Il a démontré que la série des inverses des nombres premiers diverge.
Pour ce faire, il a découvert le lien entre la fonction zêta de Riemann et les nombres premiers.
En géométrie
Comme dans les autres domaines des mathématiques, les contributions d'Euler à la géométrie sont exceptionnelles : Angles d'Euler, droite d'Euler, cercle d'Euler, Théorème d'Euler,
En arithmétique:
Il développe quelques idées de Fermat, et réfute certaines de ses conjectures.
Il démontre les identités de Newton, le petit théorème de Fermat, le théorème des deux carrés de Fermat, et travaille sur le théorème des quatre carrés de Lagrange .
En théorie des graphes:
En 1736, Euler résolut le problème des sept ponts de Königsberg, en introduisant la notion de graphe Eulérien.
Euler a également établi la formule: S - A + F = 2, liant le nombre de sommets, d'arêtes et de faces d'un polyèdre convexe, et donc d'un graphe planaire.
La constante de cette formule est maintenant connue comme la caractéristique d'Euler pour un graphe et est liée au genre de l'objet.
L'étude et la généralisation de cette formule, notamment par Cauchy et L'Huillier, est à l'origine de la topologie.
En mathématiques appliquées
Certains des plus grands succès d'Euler ont été dans la résolution des problèmes analytiques dans des domaines autres que les mathématiques et dans la description de nombreuses applications des nombres de Bernoulli, des séries de Fourier, des diagrammes de Venn, des nombres d'Euler, des constantes e et π, des fractions continues et des intégrales.
Il a aussi facilité l'utilisation des équations différentielles, en particulier en introduisant la constante d'Euler-Mascheroni :
Enoncé 1 :
Le petit théorème de Fermat
"Si p est un nombre premier et si a est un entier quelconque, alors est un multiple de p.".
Enoncé 2 :
Le théorème des deux carrés de Fermat
"Un entier est somme de deux carrés si et seulement si chacun de ses facteurs premiers de la forme 4k + 3 intervient à une puissance paire ".
Enoncé 3 :
Constante d'Euler-Mascheroni
.
Enoncé 4 :
Somme de la série de terme général 1/n!
.
Enoncé 5 :
Relation entre le nombre de sommets, d'arêtes et de face.
Dans un graphe planaire, si on appelle s le nombre de sommets, a le nombre d'arêtes et f le nombre de faces (en comptant la face formée par l'extérieur),
.
est un multiple de p.".
